Onderwerp

Volg deze stappen om $(2\sqrt{3} - 2i)^{-2}$ op te lossen met behulp van de stelling van De Moivre en complexe getallen:

1. Zet het complexe getal om in polaire vorm. Voor een complex getal $z = x + yi$ wordt de polaire vorm gegeven door $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, waarbij:
   • $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ (de modulus)
   • $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ (het argument)

In dit geval:

• $x = 2\sqrt{3}$
• $y = -2$

Bereken de modulus $r$:

$$r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$$

Bereken nu het argument $\theta$:

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{2\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$$

Daarom, in polaire vorm:

$$2\sqrt{3} - 2i = 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$

2. Gebruik de stelling van De Moivre. Volgens de stelling van De Moivre: $$(r (\cos \theta + i \sin \theta))^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$$

We moeten $(2\sqrt{3} - 2i)^{-2}$ vinden:

$$(2\sqrt{3} - 2i)^{-2} = (4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})))^{-2}$$

Dit vereenvoudigt het:

$$4^{-2} \left(\cos(-\frac{\pi}{6} \cdot -2) + i \sin(-\frac{\pi}{6} \cdot -2)\right) = \frac{1}{16} \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$$

3. Bereken de goniometrische waarden: $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Dus:

$$(2\sqrt{3} - 2i)^{-2} = \frac{1}{16} \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{32} + i \frac{\sqrt{3}}{32}$$

4. Eindresultaat: $$(2\sqrt{3} - 2i)^{-2} = \frac{1}{32} + i \frac{\sqrt{3}}{32}$$

Dit is het resultaat in rechthoekige vorm na toepassing van de stelling van De Moivre op het complexe getal.