Thema

Um $(2\sqrt{3} - 2i)^{-2}$ mit dem Satz von De Moivre und komplexen Zahlen zu lösen, gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Wandeln Sie die komplexe Zahl in die Polarform um. Für eine komplexe Zahl $z = x + yi$ wird die polare Form durch $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ gegeben, wobei:
   • $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ (der Modul)
   • $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ (das Argument)

In diesem Fall:

• $x = 2\sqrt{3}$
• $y = -2$

Berechnen Sie den Modul $r$:

$$r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$$

Berechnen Sie nun das Argument $\theta$:

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{2\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$$

Daher in polarer Form:

$$2\sqrt{3} - 2i = 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$

2. Verwenden Sie den Satz von de Moivre. Nach dem Theorem von De Moivre: $$(r (\cos \theta + i \sin \theta))^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$$

Wir müssen $(2\sqrt{3} - 2i)^{-2}$ finden:

$$(2\sqrt{3} - 2i)^{-2} = (4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})))^{-2}$$

Dies vereinfacht zu:

$$4^{-2} \left(\cos(-\frac{\pi}{6} \cdot -2) + i \sin(-\frac{\pi}{6} \cdot -2)\right) = \frac{1}{16} \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$$

3. Berechnen Sie die trigonometrischen Werte: $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

So:

$$(2\sqrt{3} - 2i)^{-2} = \frac{1}{16} \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{32} + i \frac{\sqrt{3}}{32}$$

4. Endergebnis: $$(2\sqrt{3} - 2i)^{-2} = \frac{1}{32} + i \frac{\sqrt{3}}{32}$$

Dies ist das Ergebnis in rechteckiger Form, nachdem man den Satz von De Moivre auf die komplexe Zahl angewendet hat.