موضوع

لحل $(2\sqrt{3} - 2i)^{-2}$ باستخدام نظرية دي موافر والأعداد المركبة، اتبع الخطوات التالية:

1. تحويل العدد المركب إلى شكل قطبي. بالنسبة لعدد مركب $z = x + yi$ ، يتم إعطاء الصورة القطبية بواسطة $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ، حيث:
   • $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ (المعامل)
   • $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ (الحجة)

في هذه الحالة:

• $x = 2\sqrt{3}$
• $y = -2$

احسب المعامل $r$:

$$r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$$

الآن احسب الوسيطة $\theta$:

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{2\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$$

لذلك ، في شكل قطبي:

$$2\sqrt{3} - 2i = 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$

2. استخدم نظرية دي موافر. وفقا لنظرية دي موافر: $$(r (\cos \theta + i \sin \theta))^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$$

نحتاج إلى إيجاد $(2\sqrt{3} - 2i)^{-2}$:

$$(2\sqrt{3} - 2i)^{-2} = (4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})))^{-2}$$

هذا يبسط إلى:

$$4^{-2} \left(\cos(-\frac{\pi}{6} \cdot -2) + i \sin(-\frac{\pi}{6} \cdot -2)\right) = \frac{1}{16} \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$$

3. احسب القيم المثلثية: $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

هكذا:

$$(2\sqrt{3} - 2i)^{-2} = \frac{1}{16} \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{32} + i \frac{\sqrt{3}}{32}$$

4. النتيجة النهائية: $$(2\sqrt{3} - 2i)^{-2} = \frac{1}{32} + i \frac{\sqrt{3}}{32}$$

هذه هي النتيجة في شكل مستطيل بعد تطبيق نظرية دي موافر على العدد المركب.